小学奥数染色问题和覆盖问题的讲解

【导语】经验是数学的基础，问题是数学的心脏，思考是数学的核心，发展是数学的目标，思想方法是数学的灵魂。数学思想方法是数学知识的精髓，是分析、解决数学问题的基本原则，也是数学素养的重要内涵，它是培养学生良好思维品质的催化剂。以下是©无忧考网整理的相关资料，希望对您有所帮助。

　　先定义几个小名词：

　　日字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由2个并排的正方形格子组成。

　　目字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由3个并排的正方形格子组成。

　　3-L形覆盖：用于覆盖的标准单元是由3个组成L形状的格子组成。

　　4-L形覆盖：用于覆盖的标准单元是由4个组成L形状的四个格子组成，一边长一边短。

　　凸字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由4个组成汉字“凸”字形状的四个格子组成。

　　田字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由4个组成汉字“田”字形状的四个格子组成。

　　完全覆盖的定义：用规定形状的标准单元去铺盖指定的方格棋盘，无重复无遗漏，则称该棋盘被所用的标准单元完全覆盖。

　　一系列的小题目，从易到难，慢慢培养解题能力。更复杂的染色覆盖问题，往往需要涉及到用多种颜色进行染色，下面的题目仅有一个需要这种技巧。

　　题1：M×N的棋盘存在日形覆盖，当且仅当M,N中至少有一个为偶数。

　　题2：一个5×7的棋盘，去掉第二行第四列上的小方格之后，剩下部分有日形覆盖。

　　题3：如果m*n不能被3整除，则m*n的棋盘不可能有3-L覆盖。

　　题4：若M,N都是奇数，则去掉任何一个方格，剩余的部分不存在日字形覆盖。

　　题5：证明，一个8*8的棋盘不可能用15个凸形块和一个田字形块覆盖。

　　题6：证明，一个8*8的棋盘去掉左上角和右下角的两个方格后，剩下的62个方格不可能实现日形覆盖。

　　题7：一个3*7的棋盘，用红、蓝两种颜色染色，证明，总有四个同色的方格位于一个长方形的四个角上。

　　题8：一个3*7的棋盘不存在3-L覆盖。提示：本题目需要用多种颜色染色。

　　题9：若m*n的棋盘可以实现4-L覆盖，证明m*n可以被8整除。

　　题10：7*9的棋盘中，挖去位于第四行，第六列的小方格，证明剩下的部分可以实现日形覆盖。

　　题11：在6*6的正方形棋盘上的各个小方格上，分别写上从1到36的36个数，要求相邻成“凸”字形的四个方格内的数字之和都为偶数，存在这种可能吗？

　　题12：假定8*8的棋盘是用64个正方形马赛克组成，每个马赛克可以翻动，而且每个马赛克正反两面一个为白色，一个为黑色。现在开始翻转部分马赛克，但是要求每次必须同时翻动9块（上次翻动的下一次还可以翻动），试问：是否可以经过有限次翻动之后，得到一个和原来黑白颜色正好相反的棋盘？

　　题13：某个展览大厅是一个6*6的棋盘状，每个棋盘格子是一个展览室，相邻展览室之间有门相通。现在有人想从入口开始，不重复不遗漏地走完所有的展览室。已知该展览室的入口在左上角，出口在右下角，问，有无这种行走路径？

　　题14：一个2*8的棋盘，水平线和垂直线相交的部分称之为格点。对格点用红蓝两种颜色染色。证明：无论如何，一定存在两条水平线和两条垂直线，它们所形成的格点是同一种颜色。