六年级奥数同余问题附答案

1、求437×309×1993被7除的余数。

思路分析：如果将437×309×1993算出以后，再除以7，从而引得到，即437×309×1993=269120769，此数被7除的余数为1。但是能否寻找更为简变的办法呢?

437≡3(mod7)

309≡1(mod7)

由“同余的可乘性”知：

437×309≡3×1(mod7)≡3(mod7)

又因为1993≡5(mod7)

所以：437×309×1993≡3×5(mod7)

≡15(mod7)≡1(mod7)

即：437×309×1993被7除余1。

2、70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍恰好等于它两边两个数的和，这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，……，问这一行数最右边的一个数被6除的余数是几?

思路分析：如果将这70个数一一列出，得到第70个数后，再用它去除以6得余数，总是可以的，但计算量太大。

即然这70个数中：中间的一个数的3倍是它两边的数的和，那么它们被6除以后的余数是否有类似的规律呢?

0，1，3，8，21，55，144，……被6除的余数依次是

0，1，3，2，3，1，0，……

结果余数有类似的规律，继续观察，可以得到：

0，1，3，2，3，1，0，5，3，4，3，5，0，1，3，2，3，……

可以看出余数前12个数一段，将重复出现。

70÷2=5……10，第六段的第十个数为4，这便是原来数中第70个数被6除的余数。

思路分析：我们被直接用除法算式，结果如何。