一．填空题
1．设 是否空集合，定义 且 ，已知
B= ，则 等于___________
2．若 是纯虚数，则 的值为___________
3．有一种波，其波形为函数 的图象，若在区间[0，t]上至少有2个波峰（图象的高点），则正整数t的小值是___________
4．我市某机构调查小学生课业负担的情况，设平均每人每做作业时间 （单位：分钟），按时间分下列四种情况统计：0～30分钟；②30～60分钟；③60～90分钟；④90分钟以上，有1000名小学生参加了此项调查，右图是此次调查中某一项的流程图，其输出的结果是600，则平均每天做作业时间在0～60分钟内的学生的频率是___________
5．已知直线 与圆 相交于， 两点， 是优弧 上任意一点，则 =___________
6. 已知 是等差数列， ，则该数列前10项和 =________
7. 设 的内角， 所对的边长分别为 ，且 则
的值为_________________
8 ．当 时， ，则方程 根的个数是___________
9．设 是 的重心，且 则 的大小为___________
10．设 ，若“ ”是“ ”的充分条件，则实数 的取值范围是________________
11．设双曲线 =1的右顶点为 ，右焦点为 ，过点 作平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 ，则 的面积为___________
12．若关于 的不等式组 表示的平面区域是一个三角形，则 的取值范围是_______________
13．已知函数 的大小关系为_____________
14．如果一条直线和一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成“正交线面对”的概率为________
二．解答题
15. 设函数 。
（1）写出函数 的小正周期及单调递减区间；
（2）当 时，函数 的大值与小值的和为 ，求 的图象、y轴的正半轴及x轴的正半轴三者围成图形的面积。
16. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=AD=1,AA1=2,
G是CC1上的动点。
（Ⅰ）求证：平面ADG⊥平面CDD1C1
（Ⅱ）判断B1C1与平面ADG的位置关系，并给出证明；
17. 某高级中学共有学生2000人，各年级男、女生人数如下表：
高一 高二 高三
女生 373 x y
男生 377 370 z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19.
（Ⅰ）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少人？
（Ⅱ）已知 求高三年级女生比男生多的概率.
18. 已知 均在椭圆 上，直线 、 分别过椭圆的左右焦点 、 ，当 时，有 .
(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ)设 是椭圆 上的任一点， 为圆 的任一条直径，求 的大值.
19. 过点P（1，0）作曲线 的切线，切点为M1，设M1在x轴上的投影是点P1。又过点P1作曲线C的切线，切点为M2，设M2在x轴上的投影是点P2，…。依此下去，得到一系列点M1，M2…，Mn，…，设它们的横坐标a1，a2，…，an，…，构成数列为 。
（1）求证数列 是等比数列，并求其通项公式；
（2）求证： ；
（3）当 的前n项和Sn。
20.设函数f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.
（1） 当a=0时，f(x)≥h(x)在（1,+∞）上恒成立，求实数m的取值范围;
（2） 当m=2时，若函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同零点，求实数 a的取值范围;
（3） 是否存在实数m，使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由。
参考答案
一．填空题
1. （2， ） 2. 3.5 4. ．0.40 5. 6.100 7.4 8. 2个 9. 60°
10. （-2，2）11. 12． 13． 14．
二．解答题
15. 解（1）
故函数 的单调递减区间是 。
（2）
当 时，原函数的大值与小值的和
的图象与x轴正半轴的第一个交点为
所以 的图象、y轴的正半轴及x轴的正半轴三者围成图形的面积
16. .解：（Ⅰ）∵ ABCD－A1B1C1D1是长方体，且AB=AD
∴ 平面
∵ 平面 ∴平面ADG⊥平面CDD1C1
（Ⅱ）当点G与C1重合时，B1C1在平面ADG内，
当点G与C1不重合时，B1C1∥平面ADG
证明：∵ABCD－A1B1C1D1是长方体，
∴B1C1∥AD
若点G与C1重合， 平面ADG即B1C1与AD确定的平面，∴B1C1 平面ADG
若点G与C1不重合
∵ 平面 , 平面 且B1C1∥AD
∴B1C1∥平面ADG
17. 解:（Ⅰ） -
高三年级人数为
现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在高三年级抽取的人数为
(人).
（Ⅱ）设“高三年级女生比男生多”为事件 ，高三年级女生、男生数记为 .
由（Ⅰ）知 且
则基本事件空间包含的基本事件有
共11个,
事件 包含的基本事件有
共5个
答：高三年级女生比男生多的概率为 .
18. 解:(Ⅰ)因为 ，所以有
所以 为直角三角形；
则有
所以，
又 ，
在 中有
即 ，解得
所求椭圆 方程为
(Ⅱ)
从而将求 的大值转化为求 的大值
是椭圆 上的任一点，设 ，则有 即
又 ，所以
而 ,所以当 时， 取大值
故 的大值为8.
19. 解：（1）对 求导数，得 的切线方程是
当n=1时，切线过点P（1，0），即0
当n>1时，切线过点 ，即0
所以数列
所以数列
（2）应用二项公式定理，得
（3）当
，
同乘以
两式相减，得
所以
20. 解：（1）由a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx≥-x 即
记 ，则f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等价于 .
求得
当 时; ;当 时，
故 在x=e处取得极小值，也是小值，
即 ，故 .
（2）函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a，在［1,3］上恰有两个相异实根。
令g(x)=x-2lnx,则
当 时， ,当 时，
g(x)在[1,2]上是单调递减函数，在 上是单调递增函数。
故
又g(1)=1,g(3)=3-2ln3
∵g(1)>g(3),∴只需g(2)
（3）存在m= ，使得函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性
,函数f(x)的定义域为（0,+∞）。
若 ，则 ，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，不合题意;
若 ,由 可得2x2-m>0，解得x> 或x<- （舍去）
故 时，函数的单调递增区间为( ,+∞)
单调递减区间为(0, )
而h(x)在(0,+∞)上的单调递减区间是(0, )，单调递增区间是( ，+∞)
故只需 = ，解之得m=
即当m= 时，函数f(x)和函数h(x)在其公共定义域上具有相同的单调性。
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