高三数学下册必修四知识点

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1.高三数学下册必修四知识点

　　一、向量数量积的基本性质

　　设a、b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则

　　①cosθ=(a·b)/|a||b|;

　　②当a与b同向时，a·b=|a||b|;当a与b反向时a·b=-|a||b|;

　　③|a·b|≤|a||b|;

　　④a⊥b=a·b=0

　　二、向量数量积运算规律

　　1.交换律：α·β=β·α

　　2.分配律：(α+β)·γ=α·γ+β·γ

　　3.若λ为数：(λα)·β=λ(α·β)=α·(λβ)

　　若λ、μ为数：(λα)·(μβ)=λμ(α·β)

　　4.α·α=|α|^2，此外：α·α=0〈=〉α=0。

　　向量的数量积不满足消去律，即一般情况下：α·β=α·γ，α≠0≠〉β=γ。

　　向量的数量积不满足结合律，即一般(α·β)·γ≠〉α·(β·γ)

2.高三数学下册必修四知识点

　　一、求动点的轨迹方程的基本步骤

　　建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;

　　写出点M的集合;

　　列出方程=0;

　　化简方程为最简形式;

　　检验。

　　二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。

　　直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。

　　定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

　　相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。

　　参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。

　　交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。

　　*直译法：求动点轨迹方程的一般步骤

　　①建系——建立适当的坐标系;

　　②设点——设轨迹上的任一点P(x，y);

　　③列式——列出动点p所满足的关系式;

　　④代换——依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简;

　　⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。

3.高三数学下册必修四知识点

　　两角和与差的三角函数：

　　cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

　　cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

　　sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ

　　sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ

　　tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

　　tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

　　二倍角公式：

　　sin(2α)=2sinα·cosα=2tan(α)/[1+tan^2(α)]

　　cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)=[1-tan^2(α)]/[1+tan^2(α)]

　　tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

　　三倍角公式：

　　sin3α=3sinα-4sin^3(α)

　　cos3α=4cos^3(α)-3cosα

　　tan3α=(3tanα-tan^3(α))÷(1-3tan^2(α))

　　sin3α=4sinα×sin(60-α)sin(60+α)

　　cos3α=4cosα×cos(60-α)cos(60+α)

　　tan3α=tanα×tan(60-α)tan(60+α)

　　半角公式：

　　sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

　　cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

　　tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

　　tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

　　半角公式及变形：

　　sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

　　sin(a/2)=√[(1-cosα)/2]a/2在一、二象限

　　=-√[(1-cosα)/2]a/2在三、四象限

　　cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

　　cos(a/2)=√[(1+cosα)/2]a/2在一、四象限

　　=-√[(1+cosα)/2]a/2在二、三象限

　　tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

　　tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα=√[(1-cosα)/(1+cosα)]a/2在一、三象限

　　=-√[(1-cosα)/(1+cosα)]a/2在二、四象限

　　万能代换公式：

　　半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)

　　sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

　　cosα=[1-tan(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

　　tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

　　积化和差公式：

　　sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

　　cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

　　cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

　　sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

　　和差化积公式：

　　sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

　　sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

　　cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

　　cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

4.高三数学下册必修四知识点

　　和差化积公式如下：

　　sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]

　　sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]

　　cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]

　　cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]

　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

5.高三数学下册必修四知识点

　　1.函数的奇偶性

　　(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x);

　　(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)=0(可用于求参数);

　　(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);

　　(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;

　　(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;

　　2.复合函数的有关问题

　　(1)复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。

　　(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;

　　3.函数图像（或方程曲线的对称性）

　　(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;

　　(2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然;

　　(3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);

　　(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0;

　　(5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称;

　　(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x=对称;

　　4.函数的周期性

　　(1)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;

　　(2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;

　　(3)若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;

　　(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2的周期函数;

　　(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2的周期函数;

　　(6)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=，则y=f(x)是周期为2的周期函数;

　　5.方程k=f(x)有解k∈D(D为f(x)的值域)；

　　6.a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;

　　7.(1)(a>0,a≠1,b>0,n∈R+);(2)logaN=(a>0,a≠1,b>0,b≠1);

　　(3)logab的符号由口诀“同正异负”记忆;

　　(4)alogaN=N(a>0,a≠1,N>0);

　　8.判断对应是否为映射时，抓住两点：

　　(1)A中元素必须都有象且;

　　(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;

　　9.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。

　　10.对于反函数，应掌握以下一些结论：

　　(1)定义域上的单调函数必有反函数;

　　(2)奇函数的反函数也是奇函数;

　　(3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;

　　(4)周期函数不存在反函数;

　　(5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性;

　　(5)y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数，设f(x)的定义域为A，值域为B，则有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A).

　　11.处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系;

　　12.依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题

　　13.恒成立问题的处理方法：

　　(1)分离参数法;

　　(2)转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解;